ادامه حل تمرین صفحه 69 حسابان یازدهم(سوال 5تا7)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! در عملیات جبری روی توابع گسسته (زوج مرتب)، باید ابتدا **دامنه مشترک** را پیدا کنیم و سپس عملیات را فقط روی $x$های مشترک انجام دهیم. 🤝 **دامنه توابع اصلی**: * $D_f = \{-۷, -۱, ۰, \frac{۵}{۲}, ۳\}$ * $D_g = \{-۴, -۲, ۳, ۰, ۵, ۹\}$ **دامنه مشترک** ($athbf{D_{f \circ g} = D_f \cap D_g}$): $$\mathbf{D_{\text{مشترک}} = \{۰, ۳\}}$$ --- ### ۱. تابع جمع ($f+g$) * **محاسبه**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$ * $x=۰$: $f(۰) = ۵$, $g(۰) = -۳$. $(f+g)(۰) = ۵ + (-۳) = ۲$. * $x=۳$: $f(۳) = -۵$, $g(۳) = -۲$. $(f+g)(۳) = -۵ + (-۲) = -۷$. $$\mathbf{f+g = \{(۰, ۲), (۳, -۷)\}$$ --- ### ۲. تابع تفریق ($f-g$) * **محاسبه**: $$(f-g)(x) = f(x) - g(x)$$ * $x=۰$: $(f-g)(۰) = ۵ - (-۳) = ۵ + ۳ = ۸$. * $x=۳$: $(f-g)(۳) = -۵ - (-۲) = -۵ + ۲ = -۳$. $$\mathbf{f-g = \{(۰, ۸), (۳, -۳)\}$$ --- ### ۳. تابع ضرب ($f \cdot g$) * **محاسبه**: $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$ * $x=۰$: $(f \cdot g)(۰) = ۵ \times (-۳) = -۱۵$. * $x=۳$: $(f \cdot g)(۳) = -۵ \times (-۲) = ۱۰$. $$\mathbf{f \cdot g = \{(۰, -۱۵), (۳, ۱۰)\}$$ --- ### ۴. تابع تقسیم ($\frac{f}{g}$) * **دامنه**: $D_{\frac{f}{g}} = D_{\text{مشترک}} - \{x \mid g(x) = ۰\}$. * در $D_{\text{مشترک}} = \{۰, ۳\}$، مقادیر $g(۰) = -۳$ و $g(۳) = -۲$ هستند که هیچکدام صفر نیستند. * پس $D_{\frac{f}{g}} = \mathbf{\{۰, ۳\}}$. * **محاسبه**: $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$ * $x=۰$: $(\frac{f}{g})(۰) = \frac{۵}{-۳} = -\frac{۵}{۳}$. * $x=۳$: $(\frac{f}{g})(۳) = \frac{-۵}{-۲} = \frac{۵}{۲}$. $$\mathbf{\frac{f}{g} = \{(۰, -\frac{۵}{۳}), (۳, \frac{۵}{۲})\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! اشتباه رخ داده در این محاسبه مربوط به **تعیین دامنه** پس از ساده‌سازی ضابطه است. 🚫 ### ۱. ضابطه تابع $\frac{f}{g}$ * **محاسبه ضابطه**: $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^۲ - ۹}{x + ۳} = \frac{(x - ۳)(x + ۳)}{x + ۳}$$ * **ضابطه ساده شده**: $x - ۳$ (برای $x \ne -۳$) ### ۲. اشتباه در محاسبه دامنه **اشتباه**: در محاسبه آمده است $\mathbf{D_{\frac{f}{g}} = \mathbb{R}}$. **دلیل اشتباه**: 1. **تعریف دامنه تقسیم**: دامنه تابع $\frac{f}{g}$ برابر است با $D_f \cap D_g - \{x \mid g(x) = ۰\}$. 2. **دامنه توابع اصلی**: $D_f = \mathbb{R}$ و $D_g = \mathbb{R}$. 3. **شرط مخرج**: مخرج $g(x) = x + ۳$ نباید صفر باشد: $x + ۳ = ۰ \implies x = -۳$. **حقیقت**: تابع $\frac{f}{g}$، حتی پس از ساده‌سازی، در نقطه‌ای که مخرج تابع اصلی صفر بوده است (یعنی $\mathbf{x = -۳}$)، **تعریف نشده** باقی می‌ماند. $$\frac{f(x)}{g(x)} = x - ۳$$ این ضابطه تنها زمانی معادل $\frac{f(x)}{g(x)}$ است که $athbf{x \ne -۳}$. ### ۳. دامنه صحیح $$\mathbf{D_{\frac{f}{g}} = \mathbb{R} - \{-۳\}}$$